Moyenne, pourcentage, volume

Énoncé

Un marchand de glaces souhaite préparer ses ventes pour l’été prochain. Voici quelques informations concernant son activité en juillet et août 2022. La glace est vendue sous forme de pots d'une ou deux boules.

Prix de vente des glaces :

• pot à 1 boule : 2,80 euros ;
• pot à 2 boules : 3,50 euros.

Nombres de pots de glaces vendus :

\(\begin {align*}\renewcommand{\arraystrech}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{Juillet}~ 2022 &\text{Août}~ 2022\\\hline\text{Semaine 1} & 453 & 860 \\ \hline\text{Semaine 2} & 649 &1003\\ \hline\text{Semaine 3} & 786 & 957 \\ \hline\text{Semaine 4 }& 854 & 838 \\ \hline\end{array}\end{align*}\)
1. Calculer le nombre moyen de pots de glace vendus par semaine au cours de la période allant de juillet à août 2022.
2. Parmi tous les pots de glace vendus au cours de cette période, 67 % sont des pots à une boule. Calculer la somme que rapporte la vente des pots de glace au cours de cette période.
3. On modélise une boule de glace par une boule de 4,2 cm de diamètre.
    a. Montrer que le volume d’une boule de glace est d’environ \(\text{39}~ \text {cm}^3\).
    b. Le vendeur utilise des bacs de glace contenant 10 L chacun. Quel pourcentage du volume d'un bac représente une boule de glace ?

Rappels

• Le volume \(V\) d’une boule de rayon \(r\) est donné par : \(V=\dfrac4 3 \times \pi \times r^3.\)
  
• \(1 \ \text{dm}^3 = 1 \ \text{L}\)
  

 Solution
1 . \(\dfrac{453 + 649 + 786 + 854 + 860 + 1003 + 957 + 838}{8} = \dfrac{6400} 8 = 800\).
Le marchand a vendu en moyenne 800 pots de glace par semaine.
2.  \(\dfrac{67}{100}\times{6\ 400} \ = 67 \times 64 = {4\ 288}\)
Il y a \(4\ 288\) pots de glace à une boule.
\(6\ 400−4\ 288 = 2\ 112\)
Il y a 2 112 pots de glace à deux boules.
\({4\ 288} \times 2,8 + {2\ 112} \times 3,5 = {19\ 398,40}\)
La somme obtenue par la vente des 6 400 pots est donc égale à \({19\ 398,40}~\text{€}.\)\({4\ 288} \times 2,8 + {2\ 112} \times 3,5 = {19\ 398,40}~\text{€}\)
3. a. Le volume d’une boule de glace est :
   \(\dfrac43 \times \pi \times 2,1^3 = 12,348\pi \approx {38,7924}~cm^3\), soit environ \(\text{39}~ \text{cm}^3\) à l’unité près.
    b. \(10~\text L =10~000~\text c\text m^3\) .
\(\dfrac{39}{10~000} = 0,0039\) 
Une boule de glace représente \(0,39~\text{%}\) du volume du bac.